Thèse soutenue publiquement par Sang-Ha suh le 10 Juillet 2006








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Géométrie des Poincaré et Riemann
Pendant les années 1860, en France, quand Houel a traduit un traité important, qui a été écrit en Français par quelques mathématiciens et concernait la pseudosphére, le nom de Gauss a donné un nouvel élan à la géométrie non-euclidienne et intéressé une jeune génération de mathématiciens, qui, comme Henri Poincaré, l’ont développé.

Pour créer son modèle, Poincaré avait remplacé la droite et le plan par des entités concrètes, puis interprété les axiomes de la géométrie hyperbolique en se basant sur ces entités. Il est tout à fait acceptable de traduire les termes de ces composants de l’espace par des courbes ou des surfaces, et de faire en sorte que le sens que leur donnent les postulats s’appliquant à eux, soit bien défini et cohérent.

L’explication de Poincaré consistait à en interpréter le sens, en …
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définissant un système de mesure des longueurs et des angles.

Pour Poincaré, l’angle entre deux droites était formé par leurs tangentes à leur point d’intersection. Et pour définir la longueur ou la distance, il faisait entrer un plan infini dans une région finie.

Pour être acceptable, sa définition devait répondre à de nombreuses exigences. Par exemple, la distance entre deux points distincts devait toujours être supérieure à zéro. De même, la forme mathématique précise choisie par Poincaré devait faire de la droite joignant deux points quelconque le chemin le plus court entre ces deux points, de même que, dans l’espace euclidien, la droite représente le chemin le plus court entre deux points.

Quand on examine tous les concepts géométriques fondamentaux nécessaires à la définition de l’espace hyperbolique, on s’aperçoit que le modèle de Poincaré permet une interprétation cohérente de chacun d’entre eux ; le modèle de Poincaré n’est donc pas simplement un modèle d’espace hyperbolique, il est l’espace hyperbolique à deux dimensions. En langage mathématique, cela implique que toutes les descriptions mathématiques possibles du plan hyperbolique sont isomorphes.

Une trentaine d’année après la démonstration de l’espace hyperbolique, on a découvert un nouveau type d’espace non-euclidien, l’espace elliptique, obtenue lorsque l’on admet une autre violation du cinquième postulat : le fait qu’il n’existe aucune parallèle, et que toutes les droites du plan se croisent. Ce type d’espace en deux dimensions était connu et avait été étudié dans un autre contexte par les Grecs et même par Gauss, mais personne n’avait réalisé son importance en tant qu’exemple d’espace elliptique. Et pour cause : il avait été prouvé qu’un tel espace ne pouvait exister dans le système euclidien, même en admettant des formes alternatives du cinquième postulat. Cependant, il apparut pour finir que ce n’étaient pas les espaces elliptiques qui posaient problème, mais la structure axiomatique d’Euclide.
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La géométrie des espaces elliptiques – appelées géométrie sphérique – était déjà bien connue. On savait que les grands cercles étaient les géodésiques. Les formules géométriques, reliant les éléments différents des triangles sphériques, ont été découvertes et appliquées à la cartographie. Mais les espaces elliptiques ne cadraient pas avec le modèle d’Euclide. C’est Georg Friedrich Bernhard Riemann, l’un des étudiants de Gauss, qui a découvert que le globe était un espace elliptique.

C’est en 1868, que fut publiée la leçon inaugurale donnée par Riemann en 1854. Son exposé a été fait selon le cadre de la géométrie différentielle en se focalisant sur les propriétés des parties infiniment petites d’une surface plutôt que sur les caractéristiques géométriques générales de cette surface. En fait il n’a jamais mentionné explicitement la géométrie non-euclidienne.

Riemann a souligné, pour la première fois, la distinction importante à opérer entre l’espace sans limite et l’espace infini. La surface d’un espace elliptique serait sans limite mais toujours fini. En fait, la sphère est le meilleur modèle pour la géométrie non-euclidienne impliquée par Riemann. L’espace étant fini, une droite de peut pas être étendue indéfiniment (comme dans le cinquième postulat d’Euclide). Il est possible d’établir qu’aucune droite ne peut être dessinée parallèlement à une droite donnée. Selon ce principe, les droites sont définies comme de grands cercles qui, dans la géométrie des espaces elliptiques, croisent les perches de la sphère.

Selon la géométrie elliptique, la somme des angles d’un triangle sera plus grande que 180°. La géométrie de Riemann portant sur des surfaces de courbure positive constante est donc le contraire de la géométrie Lobachevsky-Bolyai envisageant des surfaces de courbure négative constante.
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L’approche métrique de Riemann de la géométrie et son intérêt pour le problème de congruence a aussi engendré un autre type de géométrie non-euclidienne. L’une et l’autre ne sont pas définies par son refus du cinquième postulat d’Euclide mais plutôt par la courbure irrégulière que prend en compte cette approche. La vue générale qu’avait Riemann de la géométrie suggérait la possibilité de surfaces ou espaces de courbure variable. Sur cette surface irrégulière, une figure ne pourrait pas être déplacée sans que des changements se produisent dans sa propre forme et propriété. Bien qu’Euclide n’ait pas envisagé de postulat portant sur l’indéformabilité des figures en mouvement, une telle proposition, appartient essentiellement à son système. Quand le principe d’indéformabilité est nié, il en résulte une géométrie comportant des figures qui peuvent se tortiller en se déplaçant.

Poincaré a écrit des nombreux articles pendant les années 1890 et trois livres entre 1900 et 1910 dans lesquels il a repris ce qu’il pensait des axiomes géométriques.

En 1891, il avait déjà parlé de l’impossibilité de prouver la vérité ou la fausseté de l’hypothèse suivant laquelle notre espace était euclidien. Si un triangle astronomique avait été mesuré comme représentant une déviation de 180°, la géométrie euclidienne pourrait être faite de courbes au lieu de lignes droites.
[PLAGIÉ, Henri POINCARÉ. La valeur de la science]

Dans l’espace normal, des triangles rectilignes dont la somme des angles est égale à deux angles droits, mais également des triangles curvilignes dont la somme des angles est plus petite. L’existence des uns ne doit pas plus être mis en doute que celle des autres.
Poincaré a insisté sur les problèmes soulevés par la géométrie non-euclidienne, en laissant presque complètement de coté d’autres question, il envisageait un fond commun, ce continuum à trois dimensions qui était le même pour toutes et qui ne se différenciait que par les figures qu’on y traçait, ou quand on prétendait le mesurer.
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Dans ce continuum, primitivement amorphe, on peut imaginer un réseau de lignes et de surfaces, ont peut convenir ensuite de regarder les mailles de ce réseau comme égales entre elles, et c’est seulement après que ce continuum, devenu mesurable, devient espace euclidien euclidien

De ce continuum amorphe peut donc sortir indifféremment l’un ou l’autre des deux espaces, de même que sur une feuille de papier blanc on peut tracer indifféremment une droite ou un cercle.
Lorsque Poincaré soutient, dans un texte sur « les géométries non euclidiennes » paru en 1891, la thèse paradoxale du caractère conventionnel des principes fondamentaux de la géométrie, il peut s’autoriser de l’évolution récente des mathématiques. La constitution des géométries « elliptique » et « hyperbolique » avait bien de quoi déconcerter le profane, mais c’est avant tout l’interprétation philosophique de l’activité géométrique elle-même, et plus encore les conséquences radicales du « conventionnalisme géométrique », qui semblaient particulièrement scandaleuses, qui était proposées. Poincaré n’épargnait personne. En renvoyant dos-à-dos tous les protagonistes, rationalistes et empiristes, il faisait le vide autour de lui.

Pourtant, en affirmant le caractère conventionnel des principes, il ne s’agissait que de les soustraire au régime de l’évidence géométrique (celui dont Aristote présentait le canon dans les Seconds Analytiques, et dont témoignent encore certains textes de Descartes, Pascal et Kant), la position de Poincaré pourrait se formuler d’entrée de jeu par une série de réfutations.
Le système de la géométrie non euclidienne

Le système de la géométrie non-euclidienne offre une réponse fulgurante à toutes les questions qui peuvent venir à l‘appui du conventionnalisme géométrique. Dans cet univers, notre point de vue euclidien, sur une sphère,
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son rayon et les distances, est soumis à une loi d’expansion et de contraction uniforme.
Cette réponse explique l’existence des géométries non-euclidiennes ; Si les instruments de mesure se déformaient en se déplaçant en même temps que les corps qu’ils mesurent, rien au sein de cet environnement ne permettrait de détecter ces changements. Une déformation, en effet, n’est repérable que relativement à ce qui ne se déforme pas. Les déplacements n’affectent pas les dimensions des corps rigides .Les notions de centre et de rayon qui permettent à Poincaré de nous offrir un point de vue supérieur sur le monde hypothétique, n’auraient donc aucun sens pour ses habitants : comme dans l’espace euclidien qui nous est familier, tous les points seraient pour eux équivalents, de même que toutes les lignes ou directions imaginables. Leur espace, que nous concevons comme fini, hétérogène et anisotrope leur apparaîtrait au contraire infini, homogène et isotrope. De tels êtres seraient naturellement conduits à construire une géométrie que nous comprendrions. Aucun fait physique concevable ne serait en mesure de suggérer l’état « réel » des choses. Tous nos concepts géométriques, tous nos théorèmes auraient leur équivalent chez eux et seraient vérifiés par chaque expérience.

En retour, nos problèmes de pure géométrie pourraient être résolus utilement dans leur propre système, parce que les deux géométries ne différeraient au fond que par le contenu intuitif ou l’interprétation physique attachée aux concepts fondamentaux.
Au début du vingtième siècle, la géométrie non-euclidienne a suscité l’intérêt d’artistes, tels que les Cubistes et notamment de Marcel Duchamp. Elle concerne aussi, le continuum de l’espace-temps (<-t) 3 d’Einstein. Ce continuum serait de courbure variable, à cause de la force gravitationnelle de la matière qui y est distribuée partout. L’existence d’espace courbe invalidait le système de la perspective linéaire qui dominait depuis la Renaissance et avait été controversée jusqu’à la fin du dix-neuvième siècle.

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3 Espace : dans « l’Univers chiffonné » de Jean-Pierre Luminet, 2005
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Également, pour les premiers artistes modernes les interprétations traditionnelles de l’objet pouvaient être modifiées par l’apparence des objets se déplaçant irrégulièrement dans un espace courbe. Des conséquences philosophiques ont suivi la naissance de ces nouvelles géométries. A la preuve de la faillibilité euclidienne pouvait s’ajouter le fait que l’homme ne pouvait découvrir qu’en utilisant les mathématiques ou les sciences.

Les paradoxes physiques autour des trous noirs, notamment l’Engosphère constituent une puissante métaphore du potentiel humain incomplètement réalisé.

La géométrie n dimensionnelle
Notion de la dimension
L’idée d’une quatrième dimension spatiale fascine les grands esprits depuis déjà plus d’un siècle. Tour à tour, les mathématiciens, les physiciens, les philosophes et les artistes se sont appropriés ce concept pour l’intégrer à leurs ouvrages et le rendre accessible au grand public.

[PLAGIÉ, LIONEL VELTZ ?]

http://lionel.veltz.free.fr/fractales_chap2.htm

Mais, tout d’abord qu’est-ce qu’une dimension ? Il s’agit d’une notion intuitive, qui remonte à un état archaïque de la géométrie grecque. Elle se rapporte aux relations entre figures et objets, le premier terme dénotant des idéalisations mathématiques, et le deuxième terme dénotant des donnés du réel.

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[PLAGIAT, SOURCE : http://www.quatuor.org/Math00.htm

contact@quatuor.org]

Au dix-septième siècle, Descartes en a donné une définition plus générale. Pour lui, une dimension est une coordonnée que l’on mesure dans un repère d’axes. Selon cette façon de voir, la hauteur, la longueur et la largeur ne correspondent plus qu’à un cas particulier de coordonnées, celui ou les trois axes sont orthogonaux entre eux et sont mesurés avec une même unité de longueur. Habituellement, on dit que ce sont les coordonnées de l’espace euclidien.

Cette définition s’est montrée spécialement utile pour décrire le mouvement d’un point dans l’espace, et a été exploitée au mieux par la mécanique de Newton, par exemple pour décrire le mouvement de la terre dans son orbite autour du soleil.

Jusqu’au début du dix-neuvième siècle ; le développement de la géométrie n-dimensionnelle a été beaucoup moins unifié, il n’existait pas beaucoup de découvreurs ayant pris en compte des géométries de quatre ou plusieurs dimensions. Quand plusieurs mathématiciens, se sont intéressés aux n-dimensions cela a été simplement considéré comme une extension de leur travail sur un type particulier de problème. Mais, à partir du milieu du dix-neuvième siècle, la géométrie n-dimensionnelle a commencé à émerger progressivement en même temps que la géométrie non-euclidienne, comme une extension naturelle de la géométrie analytique.

En 1827, Möbius a suggéré que si l’espace avait quatre dimensions, les figures à trois dimensions pourraient coïncider, mais seuls les mathématiciens s’intéressaient aux propriétés, physiques de figures à quatre dimensions et des espaces développés, et traitaient la quatrième dimension comme une variable algébrique de la géométrie analytique.
[PLAGIAT, SOURCE : http://www.quatuor.org/Math00.htm

contact@quatuor.org]

En 1854, la leçon inaugurale donnée par Riemann, avec sa vue générale de la géométrie non-euclidienne sur n-dimensions, a contribué à l’histoire de la géométrie n-dimensionnelle. Il a donné une interprétation encore plus générale de la notion de dimension. Puisqu’un phénomène évolue sous l’influence de divers paramètres, Riemann suggérait que l’on attribue une coordonnée distincte à chacun de ces paramètres.
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Quatrième dimension

La géométrie n-dimensionnelle exige une redéfinition des conceptions communes sur les principes géométriques. L’addition d’une quatrième dimensions, qui provoque les nouvelles définitions de parallélisme et perpendicularité, forme un espace de quatre ou de plusieurs dimensions comme un hyperespace. Les quatre dimensions correspondront à trois dimensions, avec une dimension ajoutée. La rotation dans quatre dimensions se produit dans un plan au lieu d’une droite. L’hypersolide à quatre dimensions est un exemple évident concernant une opération analogique. Un hypercube est produit par le mouvement d’un cube dans une quatrième direction. Le processus de l’hypercube correspond à la genèse d’un cube par un carré qui se déplace perpendiculairement à lui-même. De la même façon, un hypersolide est borné par les solides à trois dimensions, comme les solides à trois dimensions sont bornés par les plans à deux dimensions. Une telle figure complexe doit être nécessairement envisagée comme traversant notre espace, afin que les nouvelles sections à trois dimensions paraissent continuellement, ou tournent sur un axe.

Cependant la visualisation d’une quatrième dimension dans l’intersection des trois dimensions, parait aussi impossible que l’ignorance de l’existence de la troisième dimension dans un monde à deux dimensions. Le défi qui consiste à visualiser et représenter plusieurs dimensions, associé à l’encourageant message de l’analogie à deux dimensions, explique la fascination exercée par la quatrième dimension. Mais la difficulté de concevoir une quatrième dimension a aussi entraîné l’usage occasionnel de l’idée de temps comme quatrième dimension.
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A la fin du dix-neuvième et début du vingtième siècle, la littérature concernant la quatrième dimension traite le temps comme l’élément le moins important des interprétations de cette quatrième dimension. Dans certaines expositions philosophiques et mystiques sur une quatrième dimension spatiale, le temps a joué un rôle dans le processus de visualisation d’une ou plusieurs dimensions de l’espace, mais n’a pas été interprété comme quatrième dimension.

Au début de vingtième siècle, la géométrie non-euclidienne et les géométries de plusieurs dimensions constituaient deux parties spécifiques d’un débat philosophique de grand intérêt public : La nature d’axiomes géométriques et la nature de notre espace. La controverse concernant la nature des axiomes géométriques résulte d’un défi que la géométrie non-euclidienne oppose aux axiomes mathématiques de Kant.
[PLAGIÉ, Rudy RUCKER. La quatrième dimension]

page 57 (Le Seuil)

La question de la figuration de l’espace à trois dimensions revient à Aristote. Mais le premier philosophe à avoir véritablement introduit les espaces à plusieurs dimensions est le grand philosophe Emmanuel Kant. Dans l’un de ses premiers essais, il écrit : « Etudier toutes les formes possibles d’espaces serait certainement la plus noble entreprise qu’une intelligence puisse entreprendre en géométrie… S’il existait d’autres régions dont les dimensions soient différentes, ce serait très probablement Dieu qui leur aurait donné l’existence. »*

Kant considérait l’espace à trois dimensions comme une matière artificielle constituant une proposition de la géométrie. Cependant, il a fait référence à d’autres espaces possibles dans plusieurs de ses écrits. En 1769, dans son article, « Sur les premières raisons de la distinction de régions d’espace », Kant a spéculé que la différence fondamentale entre une main droite et une main gauche était due à leurs orientations différentes en ce qui concerne l’espace absolu.

G.

, « La philosophie critique de Kant »
PAGE 28

Un espace de n-dimension est un espace dont chaque point est défini par n-nombres indépendants. Dans le cas le plus classique, il s’agit de n-nombres réels. En physique, ces nombres peuvent décrire toutes sortes de caractéristiques du point, mais dans le concept intuitif de trois dimensions, chaque objet est positionné selon trois nombres réels (trois coordonnées), et peut se déplacer d’une certaine distance dans une direction, définie elle aussi par trois nombres réels, les trois composantes du vecteur.

En ce sens, un espace à quatre dimensions n’a pas d’existence dans l’univers, car il n’est pas possible d’étendre la liberté de déplacement d’un corps humain à une quatrième dimension. Mais même dans le cas d’espace de une, deux, ou trois dimensions, l’objet mathématique est fondamentalement abstrait, déconnecté de toutes réalité, et ce même processus d’abstraction permet tout aussi bien de construire des espaces à quatre dimensions ou plus, que de visualiser des objets dans un espace à quatre dimensions comme on le ferait pour des objets tridimensionnels.
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